ANALYSIS ❯ Tangenten-Steigung
Von der Sekanten- zur Tangenten-Steigung
Differenzenquotient und Differentialquotient
(für Interessierte ab ca. 11./E Jg.)
Die Einführung in die Differenzialrechnung und insbesondere, wie man über das Bestimmen von Sekantensteigungen sich der Definition einer "Tangente an eine Kurve" annähert, ist ein umfangreiches Kapitel innerhalb der Analysis. Im Schulunterricht werden Sie sich vermutlich etliche Stunden damit beschäftigen.
Hier kann dieser Prozess natürlich nicht ersetzt werden. Ich möchte Ihnen aber gerne parallel dazu oder ergänzend, eine eigene Einführung anbieten, um möglicherweise zum Nachdenken über noch weitere Teilaspekte anzuregen.
Ausgehend von anschaulichen Beispielen möchte ich versuchen Ihnen, auf dem Weg zur formalen Beweisführung, Schritt für Schritt zunächst gewissermaßen ein Gefühl für die zu Grunde liegenden mathematischen Zusammenhänge vermitteln.
"Brauchen wir das in der Arbeit???" stellen Sie jetzt vielleicht die typische SchülerInnen-Frage. Vorläufige Antwort: Die meisten Details vermutlich nicht! (Wie Sie vielleicht auch schon gesehen haben, hier auf der Seite wird es kein "Kompakt-Training" geben, keine Rechenschritte, die Sie unbedingt "einpauken" sollten.)
Bevor Sie nun aber denken "Also nein!", würde ich Sie gerne zu einer Gedankenreise einladen. Die gute Nachricht: Sie brauchen dabei keine Angst zu haben, dass die gezeigten mathematische Erfindungen, für die die Menschheit Jahrhunderte brauchte(!), von Ihnen gleich in der nächsten Arbeit erwartet werden. Unser Ziel ist hier, die Grundgedanken eines komplexen Themas wenigstens im Ansatz zu erfassen.
Die resultierenden Formeln, die Sie dann während der gesamtem Oberstufenzeit für Analysis-Routine-Aufgaben dauernd brauchen werden, auch in den Klausuren!, finden Sie auf den nächsten Seite, siehe ➔ Ableiten und ➔ Ableiten II.
Viel Erfolg!
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Betrachten den Inhalt dieser Seite am besten als eine Art zusammenhängende Geschichte. Anders als bei den Übungsseiten empfiehlt es sich hier, im Wesentlichen die gegebene Reihenfolge einzuhalten.
Im Laufe der Einführung versuche ich nicht nur Sie in kleinen Portiönchen an das Thema heranzuführen sondern Sie gleichzeitig auch Schritt für Schrittchen an die erforderlichen Fachabkürzungen zu gewöhnen und Ihnen damit die erforderliche Fachsprache näher zu bringen.
Natürlich können Sie einzelne Abschnitte auch überspringen, besonders wenn es sich für Sie um eine Wiederholung des Themas handelt. Sollten dann aber doch z.B. Begriffserklärungen fehlen, bitte etwas zurückblättern.
"Wellenrutsche" zu Bild-Quellen
Alle "Wellenrutsche" und andere Bilder von "Rutschen" auf dieser Seite von MM-Mathe. Zum Teil mit Hilfe von GeoGebra® (vgl. https://www.geogebra.org/license)
Betrachten wir einmal Steigungen am Beispiel eine "Wellenrutsche".
Für eine sichere Spielplatz-Rutsche müssen u.a. folgende zwei Bedingungen gelten:
(1) »Der Neigungswinkel des Rutschteils zur Horizontalen darf durchschnittlich 40° nicht überschreiten.«
(2) »Winkel über 60° sind unzulässig«
Der Verlauf der hier abgebildeten Rutsche soll im Bereich -0,6 ⩽ x ⩽ 1 durch folgende ganzrationale Funktion modelliert werden
Durchschnittliche Steigung
Sekanten-Steigung
Zur Überprüfung von Bedingung (1) muss man die durchnittliche Steigung und den durchnittlichen Neigungswinkel α ermitteln. Dafür betrachtet man zuerst die Sekante PQ, d.h. die Gerade durch die Punkte P(-0,6|f(-0,6)) und Q(1|f(1)) und
berechnet deren Steigung mPQ mittels des Differenzenquotienten:
Bezeichnung "Differenzenquotient" bitte merken!
Erklärung ganz einfach: Der Bruch "Zähler durch Nenner" insgesamt ist ein Quotient. Über und unter dem Bruchstrich wird jeweils "Minus gerechnet", d.h. je eine Differenz gebildet. Daher: "Differenzen-Quotient"
Graph von f mit Sekante PQ. Durchschnittliche Steigung mPQ
Sie erkennen die Formel wieder? (Siehe Steigungsdreiecks-Formel zum ➔ Berechnen von Geraden-Steigungen). Damit kann man weiter rechnen:
Somit wurde gezeigt, der Betrag des durchnittlichen Neigungswinkels α ist hier kleiner als 40°.
Bedingung (1) für die Rutsche ist erfüllt!
Steigung einer Kurve in einem Punkt
Gesucht: "Tangenten"-Steigung
Die große Frage ist, wie kann man herausfinden, ob auch Bedingung (2) erfüllt wird?
(a) Das Besondere einer Wellenrutsche ist ja, dass sie - zum großen Vergnügen der rutschenden Kinder - an verschiedenen Stellen ganz unterschiedlich steil ist! Das bedeutet: Man muss in verschiedenen Punkten untersuchen, wie steil die Kurve jeweils ist.
(b) Wir kennen bisher nur Steigungen von Geraden. Was versteht man nun unter der "Steigung einer Kurve in einem Punkt"?
Vorläufig formuliert: Man meint die Steigung einer Geraden, die die Kurve genau in diesem Punkt berührt (eine "Tangente") (siehe Bild-Animation).
(c) Vorschau: Auch dann, wenn man in jedem Punkt der Kurve deren Steigung bestimmt kann, wird noch die Frage bleiben: Wie findet man den Punkt, in dem die Rutsche am steilsten ist? Um dann letztendlich zu klären, ob auch der steilste Winkel unter 60° liegt und damit Bedingung (2) erfüllt wäre. (Näheres dazu siehe Analysis / Kurvendiskussion.)
Gesucht: "Tangenten" (Berühr-Geraden) in verschiedenen Pukten der Kurve.
Mehr zu den Begriffen "Sekante" und "Tangente" (klick auf Dreieck)
Aus der Mittelstufe ist der Begriff "Tangente an einen Kreis" bekannt. Dieser lässt sich aber NICHT so einfach auf eine allgemeine Kurve übertragen.
Gesucht wird ein VERFAHREN, wie man zu einer gegebenen Funktion f für jeden Punkt ihres Graphen DIE STEIGUNG DER KURVE IN DIESEM PUNKT ermitteln kann - sofern diese überhaupt eindeutig bestimmbar ist.
Spätestens beim letzten Teil obigen Satzes denken Sie wohl "typisch Mathematiker, müssen die immer alles so kompliziert ausdrücken?"
Ja! man muss. Auch die genannte Einschränkung muss man aussprechen, wie das folgende Beispiel zeigt.
Exkurs: Nicht jede Funktion ist differenzierbar!
Nicht bei jeder Funktion lässt sich in jedem Punkt eine eindeutige(!) Steigung definieren.
Betrachten Sie einmal folgenden Entwurf zum Querschnitt einer (fiktiven) Rutsche (s. Bild).
In Punkt Z ist diese nicht unfallsicher. Zunächst würden die Kinder sehr flach bis fast waagrecht ruschten, dann, nach Punkt Z geht es plötzlich ziemlich steil abwärts. Direkt bei Z, beim "Knick" der Kurve, sind eine harte Kante, eventuell zerrissene Hosen und "Aua"-Rufe zu befürchten.
Mathematisch formuliert: Die Kurve hat in Punkt Z keine eindeutige Steigung (sie kann ja nicht gleichzeitig flach und steil sein!).
Man sagt: In Punkt Z ist die zugrunde liegende Funktion fExkurs nicht differenzierbar.
Als "Graphisches Differenzieren" bezeichnet man das Bestimmen von Steigungen einer Kurve in verschiedenen Punkten nach Augenmaß. Übungen dazu (auch Aufgabentypen wie sie gerne in Klausuren vorkommen!) finden Sie in Ihrem Schulbuch od. geeigneten Erklär-Videos. (Unterseite zu diesem Tema hier in Planung.)
Wie häufig in der Mathematik (und im Leben?) geht man hier erst einmal von Bekanntem aus um, Neues darauf aufzubauen.
Hier bedeutet das: Es ist bekannt, wie man zu einer gegebenen Funktion f die Steigung einer Sekanten durch zwei Punkte P und R ihres Graphen mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet.
Die neue Idee ist: Um sich der gesuchten "Berühr-Geraden" ("Tangente") anzunähern, lässt man nun Punkt R immer näher zu P wandern.
Die Frage ist dann: Gibt es einen Grenzwert der Sekanten-Steigungen, den sog. Differentialquotienten.
Falls ja, kann man damit die bisher nur vage umschriebenen Begriffe endlich klar definieren: Diesen Grenzwert wird man Steigung der Kurve in Punkt P nennen, zukünftige Abkürzung: f'(x0).
Als Tangente an den Graphen von f in Punkt P wird man eine Gerade bezeichnen, die durch Punkt P geht und genau dieses f'(x0) als Steigung hat.
Herleitung der Ableitungsfunktion f'
Von anschaulichen Annäherungen über konkrete Rechnungen bis zum gedachten "Grenzwert". Abschließend: Beweis ("h-Methode" und "x xo Methode")
Anleitung
Sollten das Thema für Sie noch ganz unbekannt sein könnte Ihnen der folgende Selbstlern-Kurs als Einstieg ins Thema dienen. Dringend erforderlich dafür ist aber: Nehmen Sie sich etwas Zeit!
(Wie gesagt, im regulären Mathematikunterricht beschäftigt man sich mit diesem Thema oft über mehrere Stunden, wenn nicht sogar Wochen.)
Bilderserie als Selbstlern-Kurs (Quellen u. Ergänzungen, klick auf Dreieck)
Bildquellen, Details:
[3c] Portrait Gottfried Wilhelm Leibniz 1700
Painting by Johann Friedrich Wentzel, 1700
Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6886474
[3c] Portrait Sir Isaac Newton 1689
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=101534333
[4] Limes-Denkmal in Gundelshalm
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Limes-Denkmal_in_Gundelshalm2.JPG
Sonst alle INFO-Bilder: MM-Mathe
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Informationen zum Thema Limes:
https://de.pons.com/%C3%BCbersetzung-2/latein-deutsch/limes
https://de.wikipedia.org/wiki/Limes_(R%C3%B6misches_Reich)
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Informationen:
Ergänzung zum Exkurs (siehe oben)
Erörteren Sie mit Hilfe des inzwischen zur Verfügung stehenden Fachvokabulars.
Die Funktion fExkurs ist in Punkt Z nicht differenzierbar.
Begründung:
Nähert man sich Punkt Z von links so ergibt sich ein Limes der Sekanten-Steigungen von etwa -0,2 oder 0. Bei einer Annäherung an Z von rechts ergeben sich wesentlich steilere Sekanten-Steigungen. Der Rechtsseitige Grenzwert könnte fast -2 sein. Auch wenn wir hier nur mit geschätzen Werten arbeiten, kann man auf jeden Fall feststellen: Der Rechtsseitige Grenzwert ist ungleich dem Linsseitigen.
Daher ist die Funktion fExkurs in Punkt Z nicht differenzierbar. Und damit ist fExkurs insgesamt nicht differenzierbar (ein Gegenbeispiel genügt!)
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Fortsetzng der Seite noch in Planung
(Notizen nur für MM
f(x)=x^3 Schritt 26 ...
Info: Alle ganzrat. , Trig ...
werden lange nicht alle hier beweisen,
Aber wenigstens alle Pot-Fkt ...)
Alternative Herleitungen: (am besten hier am Schluss)
Wir haben angeregt durch unser Einführungsbeispiel
gesehen, wie man über Grenzwert-Bildung von "Durchschnittlichen Steigungen" zur: "Steigung einer Kurve in einem.Punkt" gelangt.
Ensprechnde Überlegungen führen bei Zeit-Weg Funktionen von der "Durchschnittlicher Geschwindigkeit" zur "Momentanen Geschwindigkeit (zu einem Zeitpunkt)".
Oder noch allgemeiner von der "Durchschnittlichen Änderungsrate" einer Funktion zur "lokalen" bzw. "momentanen Änderungsrate"
Lernpfad ZUM.de
matheskills2go (verwendet "h-Mehode"
Hinweis Physik / Newton
Video MathemaTrick (evtl. schon bei f_3(x) = x^3)
Playlist zu diesem Thema z.B. von Daniel Jung enthält 47 Videos.