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[B] Besondere Potenzen
Potenzen in unserer Welt
(ab (2.) /ca.5.Kl. / Fit für 11 / für Interessierte)
Die folgenden Potenzen spielen eine so große Rolle sowohl in unserem Alltag wie auch in der Mathematik, dass sie hier eine eigene Unterseite bekommen.
Wähle:
2er - Potenzen
(ca.5.Kl. / Fit für 11)
Information:
Eine Potenz mit der Basis 2 nennt man Zweierpotenz.
Bsp. 21; 22; 23 ... 210 ... 2n (für n ∈ ℤ)
Empfehlung:
Video: Schachbrett Reiskorn Exponentielles Wachstum (M. Hahmann)
| Anz.Körner | Potenz | |
| 1.Feld | 1 |
Letztes ?20 |
|
2.Feld 3.Feld 4.Feld |
2 4 8 |
21 22 23 |
bis10.5.Feld 6.Feld 7.Feld 8.Feld 9.Feld 10.Feld |
?16 32 64 128 256 512 |
?24 25 26 27 28 29 |
|
64.Feld hier TR / AI |
ca. ?9,2 Trilionen |
?263 |
Anschließend an das Video lohnt es, ein paar Fragen zu beantworten.
Lege am besten selbst eine kleine Tabelle an. Fülle nacheinander die Lücken. (Zuerst 📝, dann zum Vergleich: Klick auf Dreieck). Die gefärbten Felder zuletzt öffnen.
Genaueres zu Feld 64
Zur Beruhigung: Kein Rechenfehler, auf dem 64.Feld liegen 263 d.h. ca. 9,2 Trillionen Körner.
Im Kommentarfeld zum Video gibt es interessante Bemerkungen dazu. Zuletzt werden ca. 18 Trillionen genannt, also fast(!) doppelt so viele wie auf dem 64.Feld. Das bezieht sich aber auf die Gesamtsumme der Reiskörner auf ALLEN bis dahin gefüllten Feldern. Und diese ist, wenn man es genau wissen will: 264-1.
Wenn du Zeit und Lust hast ...
kannst du gerne überlegen, wie es auch noch zu dieser Gesetzmäßgkeit kommt. Fange an mit kleineren Werten: Auf Feld 1 bis 4 liegen insgesamt 1+2+4+8 = 15 = 24-1 Körner, usw.)
Genaueres zu Feld 1
20 = 1 ist kein Rechenergebnis sondern eine Ausmachung unter Mathematikern. Die vorliegende Tabelle zeigt aber recht schön, warum es an dieser Stelle sinnvoll ist, die Potenzschreibweise auf 20 zu erweitern. Mehr dazu ➔ Schritt [F]10er - Potenzen
(ab (4.) /ca.5.Kl. / Fit für 11)
Information:
Eine Potenz mit der Basis 10 nennt man Zehnerpotenz.
Bsp. 101; 102; 103 ... 1010 ... 10n (für n ∈ ℤ)
Dass 10 eine besondere Zahl ist, davon gehts du wohl aus. Der Mensch hat zehn Finger. Und fast(!) alles in unserer Welt wird im Zehnersystem (Dezimalsystem) berechnet.
Video (A. Rueff)
Video (Deutschfuchs) (Tipp ...)
Falls dir der gesprochene Text zu "lahm" ist, Geschwindigkeit gerne etwas erhöhen.
Das Video ist eigentlich zum Deutsch Lernen gedacht. Inhaltlich aber auch prima geeignet um das Stellenwertsystem der Mathematik gut kennen zu lernen.
ZUM App Stellenwertsystem in Vorbereitung
Mehr zur wissenschaft. Schreibweise (ab ca. 9.Kl.) ➔ Schritt [G]
Quadrat- und Kubikzahlen
(ab (2.) /ca.5.Kl. / Fit für 11)
Information:
Eine Potenz mit der "Hochzahl 2", d.h. dem Exponenten 2 nennt man Quadratzahl.
Bsp. 12; 22; 32; 42; 52 ... 102 ... a2 (für a ∈ ℚ)
Quadratzahlen kennt schon jedes Kind. Super! Und wo wir auch nachlesen, alle PädagogInnen scheinen sich einig zu sein in der Aufforderung: "Diese Zahlen solltest du auswendig kennen!" Na denn, legen wir los. Ich habe versucht hier dafür eine möglichst abwechslungsreiche Übungssammlung mit ganz sachte ansteigendem Schwierigkeitsgrad zusammenzustellen.
Als erste kleine Gedächtnis-Auffrischung, Empfehlung
➔ ✵ Quadratzahlen (Schlaukopf)
✵ (gedacht für GrundschülerInnen ab 2.Kl. Macht aber auch später noch Spaß! )
Dann eine Learning-App Kollektion.
Für Fortgeschrittene:
Noch mehr Potenzen (auch schon etwas mehr als nur Quadratzahlen), die du, laut Autorin, auswendig können solltest: ➔ ✵ ZUM Flashcards Training wichtige Potenzen (bis 20 + 25) (BirgitLachner) ✵
Information:
Eine Potenz mit der "Hochzahl 3", d.h. dem Exponenten 3 nennt man Kubikzahl.
Bsp. 13; 23; 33; 43; 53 ... 103 ... a3 (für a ∈ ℚ)
. . .
✦ WOZU BRAUCHEN WIR DAS ?✦ (zu Schritt [B])
Wozu braucht man 2er - Potenzen?
Du als Mensch brauchst sie vielleicht nicht. Aber dein ständiger Begleiter, das Handy und ebenso jeder Computer, den du verwendest, die können ohne Binärzahlen (Zahlen im Zweiersystem) gar nicht denken. Da ist es vielleicht doch gut, wenn wir wenigstens eine Ahnung bekommen, wie das funktioniert.
Video (Simple Club) (Information zum "Megabyte-Chaos" siehe unten "2er kontra 10er System")
Video (Golzilla erklärt)
Video, vom Profi, einfach! erklärt: "Warum verwenden Computer 1en und 0en?" (Junus Ergin) (genügt bis Min. 9'09'')
Solange du (noch) nicht ProgrammiererIn werden willst, hier zurück zur Spaßmathematik mit weiterem, nett aufbereiteten, schriftlichem Material zum Binärsystem (Zweiersystem).
Ein bisschen Englisch ist ja hoffentlich kein Hinderniss?
Binary Digits (Math is fun)
Binary Number System (Math is fun)
Ausführlichere Informationen siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem
2er - kontra 10er - Potenzen
Was ist ein Kilobyte?
210 Bytes = 1024 Bytes oder 103 Bytes = 1000 Bytes?
Und was ist eigentlich ein Kibibyte, von dem im Video vom Simple Club (s.o.) gesprochen wurde?
Nur falls es interessiert ...
Im Zusammenhang mit Datenmengen, die z.B. auf einem externen Datenträger gespeichert werden sollen, werden Begriffe wie 256Byte, 512Byte, Kilobyte, Megabyte und Terabyte verwendet.
Aber was ist ein Kilobyte?
210 Bytes = 1024 Bytes oder 103 Bytes = 1000 Bytes?
Eine Zahl im Binärsystem (Zweiersystem) oder im Zehnersystem?
Falls du dieser Frage irgendwo begegnen solltest, ein Streit darüber lohnt wohl nicht. Man kann im Moment tatsächlich beide Aussagen finden (Stand 2026). Wobei inzwischen wohl eher die letztere als die korrekte gilt (während für 210 Bytes = 1024 Bytes der Begriff "Kibibytes" eingeführt werden soll, sich aber noch nicht richtig durchgesetzt hat). Mehr dazu ➔ wikipedia.org/wiki/Byte#Präfixe_für_große_Anzahlen_von_Byte
Am interessantesten ist aber vielleicht zu sehen, dass auch in der Mathematik Definitionen nicht sozusagen vom Himmel fallen (woraufhin arme SchülerInnen unkritisch auswendig lernen sollen, was richtig und was falsch ist), sondern dass Mathematik in Bewegung ist, auch heute noch.
Im vorliegenden Beispiel: Vor noch gar nicht so lange galten 1024 Bytes als sehr viele Bytes und dafür wurde eine neue Begriffs-Definitionen gesucht. Dabei aber vielleicht nicht von Anfang an gleich die besten Lösungen gefunden. Der Unterschied zu 1000 Bytes ist nicht sehr groß, weshalb man wohl zunächst wenig Skrupel hatte, für diese "sehr viele" die aus dem Zehnersystem bekannte Vorsilbe "Kilo-" zu verwenden, woraufhin sich zunächst der Begriff "Kilobyte" auch für 1024 Bytes ausbreitete.
Heute wird aber auch mit Terabyte, Petabyte oder je nach Zusammenhang noch sehr viel mehr gearbeitet, und - wie im oben genannten Wikipedia Artikel gezeigt - je größer die beschriebene Menge, desto größer wird der Unterschied, ob man Potenzen von 1024 oder von 1000 meint. Daher wurde es nun wichtig präzisere Begriffe einzuführen und zu etablieren.
Wenn dieser Prozess abgeschlossen sein wird, dann dürfen SchülerInnen neu lernen, was richtig und was falsch ist. Bis dahin beobachten wir offen, welche Interpretation des Begriffs Kilobyte je nach Zusammenhang gemeint ist.
Wozu braucht man 10er - Potenzen?
Zum Beispiel für Höheangaben in Metern (Bsp. "Fløyen"(N) 320m ü.M., siehe Bild) und Entfernungen gemessen in Kilometern (Bsp. 3304km zum Nordpol und 2117km nach Rom). 1km = 1000m = 103m.
Und natürlich für Geldeinheiten: 1€ = 100ct = 102 ct. So kennen wir das! Und Geld regiert ja bekanntlich die Welt (?)
Daher denkt ihr jetzt vielleicht sogar, unser Zehnersystem sei das natürlichste oder sogar das einzig richtige (?) Zahlensystem um mit Größen zu rechnen?
Aber halt! Geographische Längen- und Breitengrad werden in Grad angegeben (im Bsp. Längengrad 5,3° von 180° östl. plus 180° westl. d.h. insgesamt 360° Längengraden). Ist das die absolute Ausnahme?
Überlege einmal kurz, welche Größeneinheiten du sonst noch kennst und welches Zahlensystem jeweils dafür verwendet wird? Vergleiche dann mit den folgenden Tabellen.
Bildquellen:
Fløyen (Bergen, N), Aussichtspunkt mit Wegweiser. Foto MM-Mathe
Tabellen zu Maßeinheiten: Bilder der 1ct, 10ct 1€ Münzen aus Wikipedia bzw. Publicdomainvectors
sonst MM-Mathe
Bild "Usage des Nouvelles Mesures" (ca. 1800) L. F. Labrousse (engraver). J. P. Delion, Paris (publisher)., Public domain, via Wikimedia Commons
Der Impuls für ein vereinheitlichtes, möglichst Welt weites dezimal-metrisches System kam aus Frankreich (siehe Bild "Nouvelles Mesures")
Mehr dazu ...
Informationen zur Geschichte der Maße und Gewichte
siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Geschichte_der_Maße_und_Gewichte und insbesondere zur Einführung des metrischen Systems
Empfehlungen:
Video (Quarks Dimension Ralph) Ein historischer Blick auf die Bedeutung des Zehnersystems für unsere Maßeinheiten.
Kurzvideo (70 sek Wiki)
Was passiert, wenn man NICHT mit dem Zehnersystem arbeitet? Siehe USA und GB
(Mehr Info, klick auf Dreieck)
Geldeinheiten:
Denkst du jetzt: Aber für Geld wird immer das Zehnersystem verwendet? 1€ = 100ct = 102 ct.
Auch in den USA: 1$ = 100¢.
Ja. Aber weißt du, seit wann erst in GB £1= 100p gilt?
Und gibt es heute wirklich einen Standard für die ganze Welt?
(Mehr Info, klick auf Dreieck)
xxx
Und ist das Dezimalsystem heute wirklich Standard für Währungen in der ganzen Welt?
Für Geldeinheiten ist das Zehnersystem heute wirklich fast in der ganzen Welt Standard.
Wie groß ist das Universum? (dt. Fandub)
Hier eine erste Reise ins Weltall.
Dringende Empfehlung: Schaue unbedingt auch den Vorbild-Film an: "Powers of Ten" von Charles und Ray Eames (1977) (siehe nächste Seite).
Dort werden nicht Zehnerpotenzen mit positiven Exponenten veranschaulicht sondern auch negative Exponenten.
Ausführlichere Informationen zu Stellenwertsystemen und zum Dezimalsystem (Klick auf Dreieck)
zu Stellenwertsystem, allgemein https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenwertsystem
insbesondere https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenwertsystem#Geschichte
zum Dezimalsystem / Zehnersystem https://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalsystem
Wozu braucht man Quadrat- oder Kubikzahlen?
Unsere Welt ist dreidimensional. Quadratzahlen verwendet man insbesondere beim Berechnen von Flächeninhalten (Beispiele s. o. in der Learningapp-Kollektion). Kubikzahlen zum Berechnen von Rauminhalten.