ANALYSIS >> Tangenten-Steigung

Sekanten- und Tangenten-Steigung

Differenzenquotient und Differentialquotient

(für Interessierte ab ca. 11./E Jg.)

Seite im Aufbau (bitte etwas Geduld)

ie Herleitung der Ableitungsformel ist ein umfangreiches Kapitel. Im Schulunterricht werden Sie sich vermutlich etliche Stunden damit beschäftigen. Hier kann dieser Prozess nicht ersetzt, aber zum Nachdenken über einzelne Teilaspekte angeregt werden.

"Brauchen wir das in der Arbeit???" stellen Sie jetzt vielleicht die typische SchülerInnen-Frage. Meine Antwort: Die meisten Details vermutlich nicht! (Wie Sie vielleicht auch schon gesehen haben, hier auf der Seite wird es kein "Kompakt-Training" geben, keine Rechentechniken, die sie unbedingt "einpauken" sollten.) Das bedeutet jetzt aber nicht, dass Sie sich zurücklehnen und gar nichts machen sollen. Sinnvoll ist es bei so einer Einführung eines neuen Themas zu versuchen, möglichst viele der Grundgedanken wenigstens im Ansatz zu erfassen (ohne gleich Angst zu bekommen, dass mathematische Erfindungen, für die die Menschheit Jahrhunderte brauchte(!), von Ihnen in der nächsten Arbeit erwartet werden). Wenn Ihnen dabei gelingt, den gedanklichen "Roten Faden" zu erkennen, hier wie man über das Berechnen einzelner Sekantensteigungen sich der Steigung einer Tangente an eine Kurve in einem Punkt annähert, dann wird Ihnen im Folgenden insgesamt vieles leichter fallen. Sowohl im Mathematik-Unterricht wie auch ggf. bei Verständnisfragen in der nächsten Arbeit.

Viel Erfolg!

✩ Einleitende Fragestellungen ✩

Für eine sichere Spielplatz-Rutsche müssen u.a. folgende zwei Bedingungen gelten:

(1) »Der Neigungswinkel des Rutschteils zur Horizontalen darf durchschnittlich 40° nicht überschreiten.«

(2) »Winkel über 60° sind unzulässig«

(s. sichere-kita.de )

Der Verlauf der hier abgebildeten Rutsche soll durch folgende ganzrationale Funktion im Bereich für -0,6 ⩽ x ⩽ 1 modelliert werden

f (x) = \frac{19}{40} x^{4} - \frac{11}{20} x^{2} - \frac{4}{5} x + \frac{7}{8}

Um den durchnittlichen Neigungswinkel α zu ermitteln berechnet man die Steigung der Sekante durch die Punkte P(-0,6|f(-0,6)) und Q(1|f(1)). Sie erinnern sich daran, wie man die Steigung einer Geraden berechnt? Insbesondere an den Bruch in der Steigungsdreiecks-Formel?

Diesen bezeichnet man auch als Differenzen-Quotienten. Damit kann man berechnen:

m_{S e k a n t e P Q} = \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}} = \frac{f (1) - f (- 0, 6)}{1 - (- 0, 6)} \approx \frac{0 - 1, 21856}{1, 6} \approx 0, 7616

\tan (α) \approx - 0, 7616

\Rightarrow

α \approx - 37, 29 °

Damit ist gezeigt, dass der Betrag des durchnittlichen Neigungswinkel α kleiner als 40° ist. Bedingung (1) ist erfüllt.

Die große Frage ist, WIE KANN MAN BERECHNEN, ob Bedingung (2) erfüllt ist?

Nirgednwo darf die Steigung der Kurve größer als 60° sein. Aber was kann man überhaupt als "Steigung einer Kurve" ansehen?

Anders als bei einer Geraden ...

Lernpfad ZUM.de

Video MathemaTrick

Hinweis Physik / Newton

✩ Ziel ✩

Link GeoGebra Elefant.

Frage Woher weiß Elefant (und das Programm Geogabra) das?

✩ Zeichnerische Annäherung ✩

Zeichen Versuche? Auch mit Fehlern? Hinweis auf Graphisches Differenzieren

✩ Grundidee für die rechnerische Lösung ✩

✩ Herleitung der Formel für die ERSTE Beispiel-Funktion ✩